Artigo
Sur les espaces uniformes précompacts
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Tipo:image/png  Tamanho:45 KB  Preto/branco:01 bpp  Resolução:300 dpi 34 W. F. XEWNS A partir de cette défmition, lê théorème l est immédiat. Pour voir que cette définition est equivalente à celle de N. BOURBAKI, il suffit de démontrer lê théorème 2, en utilisant Ia définition ci-dessus d'un espace précompact. Supposons alors Tespace E précompact, et soit W un entourage 2 symétrique tel que W c V; comme lês ensembles W (x} sont petits d'ordre V, il suffit de voir quTil existe une suite finie de points telle que lês W (a?;) forment un recouvrement de E. Or, dans lê cãs contraire, lês ensembles complémentaires dês ensembles W (a;), lorsque x parcourt E, engendreraient un filtre sur E: un ultrafiltre quel- conque plus fin que cê filtre ne contiendrait aucun W (x), et ne pourrait pás alors être un filtre de CAUCHY, cê qui serait contraire à rhypothèse. Inversement, étant donné un ultrafiltre & sur E, et un entourage V, il existe, par hypothèse, un recouvrement fini (A;) dont tous lês ensembles sont petits d'ordre V. Comme & est un ultrafiltre, un au moins dês A,- appartient à ^, cê qui prouve que & est un filtre de CAUCHY. L'autre critère pour Ia prócompacité, à savoir que lê complete doit être compact, peut aussi être démontré directement à partir de notre définition. On peut utiliser cette définition, par exemple, pour donner une autre démonstration du fait que tout produit d'espaces prócompacts est précompact.